Турищев Л.С. Строительная механика УМК Часть 1. Статически определимые системы, Новополоцк ПГУ 2005

Рис. 6.18

Приращения температуры в трех характерных точках рассматриваемого сечения связаны с температурой замыкания следующими соотношениями

∆tв = tв −tз; ∆tн = tн −tз; ∆tо = tо −tз ,

а график, описывающий изменение величины ∆t по высоте поперечного сечения, имеет вид трапеции (рис. 6.18, б). Скорость изменения приращения температуры по высоте поперечного сечения определяется по формуле

∆t′ =	∆tв −∆tн	(6.45)
	h

и называется удельным температурным перепадом. Эта величина всегда положительная ∆t′> 0 . С учетом (6.45) величина приращения температуры в произвольной точке, отстоящей от оси на расстоянии y, определяется по формуле

∆t = ∆tо − y∆t′.

(6.46)

Тогда внутренний интеграл по площади в формуле (6.33) с учетом

(6.37) и (6.46) примет вид

			ni		mi		′	)dA .
	∫			−					(6.47)
		σi ∆t dA = ∫	A		I z	y (∆tо − y∆t
	A

После раскрытия скобок и вычисления интеграла в правой части формулы

(6.47), с учетом ∫ydA = 0 , получим

A
∫σi ∆t dA = ni ∆tо + mi ∆t′.	(6.48)
A
Подставляя (6.48) в (6.33), получим формулу следующего вида:
∆i = ∑α∫(ni ∆tо + mi ∆t′)ds .	(6.49)
k l
161

Формула (6.49) является рабочей и позволяет вычислять температурные перемещения, возникающие в плоских статически определимых стержневых конструкциях. Поскольку единичное состояние уже рассмотрено, то необходимо дополнительно рассмотреть только действительное состояние.

В действительном состоянии для каждого стержня конструкции определяют удельный температурный перепад ∆t′ и приращение температуры на оси ∆tо и строятся эпюры этих величин. Эпюра ∆t′ на каждом

стержне строится с стороны его более нагретого волокна и знаки на эпюре не ставятся. На эпюре ∆tо ставятся знаки, и она может строиться на каж-

дом стержне со стороны любого волокна.

6.5.5. Вычисление интегралов, встречающихся при определении перемещений

При определении перемещений в плоской стержневой конструкции

могут встретиться два типа размеров поперечных сечений ее стержней. В одном случае эти размеры могут быть переменными по длине каждого стержня конструкции, а в другом – они постоянны в пределах каждого

стержня, но могут быть переменными для различных стержней.

При переменных размерах поперечных сечений для вычисления интегралов, входящих в формулу Максвелла-Мора, обычно применяют численные методы интегрирования. Подынтегральные функции в этих интегралах являются дробными и для них, как правило, не удается получить аналитические выражения для первообразных функций.

Если в плоской стержневой конструкции жесткости поперечного сечения EI z , EA, GA в пределах каждого стержня постоянны, то интегралы,

входящие в формулу Максвелла-Мора, принимают вид

∫mi Mds,	∫ni Nds,	∫qiQds .	(6.50)
l	l	l

Подынтегральные выражения этих интегралов имеют одинаковую структуру и представляют собой произведение функций двух видов.

Функции вида mi , ni , qi описывают закономерности изменения

внутренних усилий единичного состояния. Эти функции по длине каждого

стержня конструкции всегда являются линейными.

Функции вида M , N , Q описывают закономерности изменения

внутренних усилий в действительном состоянии при действии нагрузки. В зависимости от конкретной схемы нагружения эти функции по длине одних стержней конструкции могут быть линейными, а по длине других –

162

нелинейными. Для общности дальнейших рассуждений будем считать функции второго вида нелинейными.

С учетом сделанного анализа структуры подынтегральных выражений в (6.50) эти интегралы могут быть представлены в виде

xb
∫Fdx ,	(6.51)

xa

где f – некоторая линейная функция и F – некоторая нелинейная непрерывная функция, заданные в некоторой области определения xa ≤ x ≤ xb . За начало отсчета на оси абсцисс примем точку пересечения графика линейной функции с этой осью.

Графики рассматриваемых функций показаны на рис. 6.19. В за-

данной	системе	координат	линейная
функция	f имеет вид
				а)
	f	= kx ,	(6.52)
где k = tgα. Подставим (6.52) в (6.51) и
	xb	xb
получим, что ∫Fdx = k ∫xFdx .
	xa	xa

Поскольку Fdx = dΩ есть площадь элементарного участка графика нели- б) нейной функции F (рис. 6.19, а), а инте-

xв

грал ∫xdΩ представляет собой статиче-

xа

ский момент площади всего графика этой функции, тоинтегралвида(6.51) равняется

	xb
	∫Fdx = kxcΩ	(6.53)
			Рис. 6.19
	xa

Здесь xC – абсцисса центра тяжести площади графика нелинейной

функции F , а Ω – площадь этого графика. С учетом (6.52) формула (6.53) примет вид

xb
∫ f Fdx = fC Ω,	(6.54)
xa
где fC = kxC – ордината на графике линейной функции	f (рис. 6.19, б).
163

Таким образом, определенный интеграл от произведения двух функций, одна из которых линейная, а вторая нелинейная, равняется произведению площади графика нелинейной функции на ординату графика линейной функции, расположенную под центром тяжести площади графика нелинейной функции. В случае если вторая функция тоже является линейной, то при пользовании формулой (6.54) безразлично площадь графика какой функции следует вычислять.

Рассмотренный графоаналитический прием вычисления определенного интеграла называется правилом Верещагина. Так как при его применении для вычисления интегралов в формуле Максвелла-Мора перемножаемые величины относятся к эпюрам внутренних усилий, возникающих в конструкции, то это правило называют и правилом перемножения эпюр.

Поскольку при вычислении температурных перемещений по формуле (6.49) перемножаемые подынтегральные функции ni , mi , ∆tо, ∆t′ яв-

ляются линейными, то для вычисления интегралов ∫ni ∆tоds и ∫mi ∆t′ds ,

l

l

входящих в эту формулу, также можно применять правило Верещагина.

6.6. Матричная форма определения перемещений в плоских стержневых конструкциях от нагрузки

Матричная форма определения перемещений от нагрузки основана на использовании формулы Максвелла-Мора и приемов дискретизации расчетной схемы конструкции и заданной нагрузки, рассмотренных ранее при определении внутренних усилий. Будем считать, что в результате дискретизации расчетная схема стержневой конструкции состоит из s элементов, соединенных в f узлах, и в ней выделено r расчетных сечений. Применение матричной формы рассмотрим сначала для конструкций, при определении перемещений в которых можно ограничиться учетом только изгибных деформаций.

С учетом дискретизации расчетной схемы конструкции изгибающие моменты M действительного состояния и изгибающие моменты mi вспомогательного единичного состояния в пределах каждого отдельного элемента, полученного при дискретизации расчетной схемы конструкции, описываются линейными функциями. В этом случае эпюры этих внутренних усилий для произвольного j -того элемента имеют вид трапеций, показанный на рис. 6.20, а.

164

Рис. 6.20

Используем правило Верещагина, предварительно разбив трапеции эпюр действительного и единичного состояний на треугольники (рис. 6.20, б), и вычислим первое слагаемое в формуле (6.44) для j -того элемента

m M

1 1

2

1

1

1

2

∫

i

ds =

Mk −1l j

mk −1i +

mki

+

Mkl j

mk −1i +

mki

. (6.55)

(EI

)

3

3

2

3

3

l j

EI

z

z

j

2

Вынесем в правой части (6.55) за скобки l j

6

m M

l j

[(2mk −1i + mki )Mk −1 +(mk −1i + 2mki )Mk ]

∫

i

ds =

EI

z

6(EI

z

)

j

l j

и, используя операции матричной алгебры, придадим полученному выражению сначала вид

m M

l j

Mk −1

∫

EI

ds =

((2mk −1i

+ mki ) (mk −1i +

2mki ))

M

,

6(EI

)

i

l j

z

z

j

k

а затем

m M

(m

)

l j

2 1 M k −1

∫

i

ds =

m

.

(6.56)

EI

6(EI

)

M

z

k −1i

ki

z

1 2

k

l j

j

В выражении (6.56) введем следующие

обозначения для матричных

объектов:

m′

= (m

);

l

j

2

1

M

k −1

k −1i

m

ki

b

j

=

;

M

j

=

,

ji

1

2

M k

6(EI z )j

165

где m′ji – транспонированный вектор изгибающих моментов j -того элемента единичного вспомогательного состояния; b j – матрица податливости j -того элемента конструкции изгибным деформациям; M j – вектор изгибающих моментов j -того элемента действительного состояния. С учетом введенных обозначений формула (6.56) примет вид

		miM
	∫			ds = m′jibj M j .			(6.57)
		EI	z
	l j

С учетом (6.57) запишем, какой вид примет первое слагаемое в формуле (6.44):

		mi M	s
	∆i = ∑ ∫		ds = ∑m′jib j		j .
				M
		EI
	j l j	z	j=1

Запишем в развернутом виде правую часть полученного выражения

∆i = m1′ib1M1 +... +msi′ bs M s

и, используя операции матричной алгебры, придадим полученному выражению сначала вид

M

∆

1

,

i

= (m′b K m′ b ) M

1i

1

si s

M s

а затем

b

M

1

∆i = (m1′i

1

(6.58)

K

msi′ )

O

M

.

b

M

s

s

В выражении (6.58) введем следующие обозначения для матричных объектов:

	b
							M	1
mi′ = (m1′i		1
	K msi′ ); BM =	O	; M = M							,
			b
						M
			s					s

где mi′ – транспонированный вектор изгибающих моментов единичного вспомогательного состояния; BM – матрица податливости несвязанных

166

элементов конструкции изгибным деформациям; M – вектор изгибающих моментов действительного состояния. С учетом введенных обозначений формула (6.58) примет вид

∆i = mi′BM		.	(6.59)
	M

Формула (6.59) является матричным вариантом формулы Максвелла-Мора, и позволяет вычислять перемещения с учетом только изгибных деформаций элементов стержневой конструкции.

Нетрудно показать, что матричный вариант формулы МаксвеллаМора с учетом влияния продольных и сдвиговых деформаций будет иметь вид

∆i = mi′BM M + ni′BN N + qi′BQQ ,

где ni′, qi′– транспонированные векторы продольных и поперечных сил единичного вспомогательного состояния; BN , BQ – матрицы податливости несвязанных элементов конструкции продольным и сдвиговым деформациям; N , Q – векторы продольных и поперечных сил действительного состояния.

6.7.Некоторые теоремы о перемещениях

влинейно-деформируемых конструкциях

Перемещения, возникающие в линейно-деформируемых конструкциях, удовлетворяют ряду теорем, отражающих существенные особенности деформирования таких конструкций. Основополагающее значение среди них имеет теорема о взаимности работ и вытекающее из нее следствие – теорема о взаимности перемещений.

Для выяснения сути и доказательства этих теорем рассмотрим произвольную линейно-деформируемую стержневую конструкцию, нагруженную двумя обобщенными силамиPi и Pk . Такую конструкцию условно изобразим в виде простой балки (рис. 6.21, а). Под действием приложенных сил конструкция деформируется, и в ней возникают соответствующие этим силам полные перемещения ∆i и ∆k (рис. 6.21, б).

167

Рис. 6.21

6.7.1. Теорема о взаимности работ

При нагружении конструкции возможны две последовательности статического приложения сил.

Водном случае сначала прикладывается силаPi , а затем конструкция догружается силой Pk , в ходе которого силаPi не изменяется.

Вдругом случае последовательность приложения сил противоположная. Определим величину работы, производимой внешними силами в процессе деформирования конструкции для обеих схем нагружения.

Впервом случае от действия силы Pi возникает собственное пере-

мещение ∆ii (рис. 6.22, а) и на этом перемещении сила совершает действи-

тельную работу 12 Pi ∆ii . При дополнительном деформировании конструк-

ции силой Pk возникает собственное перемещение ∆kk и соответствующее силе Pi побочное перемещение ∆ik (рис. 6.22, б). На этих перемещениях

силы совершат, соответственно, действительную работу 12 Pk ∆kk и воз-

можную работу Pi∆ik . Тогда полная работа, совершенная силами при первой схеме нагружения, описывается выражением

A1 = 12 Pi ∆ii + 12 Pk ∆kk + Pi ∆ik .

168

Рис. 6.22

Во втором случае сначала приложим силу Pk . При деформировании конструкции возникнет собственное перемещение ∆kk (рис. 6.23, а), на ко-

тором сила совершит действительную работу 12 Pk ∆kk . При догружении

конструкции силой Pk дополнительно возникнут собственное перемещение ∆kk , и побочное перемещение ∆ki . На этих перемещениях силы со-

вершат, соответственно, действительную работу 12 Pi ∆ii и возможную ра-

боту Pk ∆ki . Тогда полная работа внешних сил при второй схеме нагружения описывается выражением

A2 = 12 Pk ∆kk + 12 Pi∆ii + Pk ∆ki .

В связи с тем, что рассматривается линейно-деформируемая конструкция, то ее конечное деформированное очертание и, следовательно, потенциальная энергия деформации не зависят от схемы нагружения конструкции. Поэтому в обоих случаях на накопление потенциальной энергии деформации конструкции затрачена одинаковая работа внешних сил

A1 = A2 .

Отсюда следует, что
Pi∆ik = Pk ∆ki .	(6.60)
169

Рис. 6.23

Полученное соотношение (6.60) отражает суть теоремы о взаимности работ, которая формулируется следующим образом. Возможная работа внешних сил i-того состояния конструкции на перемещениях, вызванных внешними силами k-того состояния, равняется возможной работе внешних сил k-того состояния конструкции на перемещениях, вызванных внешними силами i-того состояния.

6.7.2. Теорема о взаимности перемещений

Поскольку рассматривается линейно-деформируемая конструкция,

то побочные перемещения ∆ik	и ∆ki , входящие в (6.60),	описываются
следующими линейными соотношениями:
∆ik	= Pkδik ; ∆ki = Piδki .	(6.61)
Подставим соотношения (6.61) в (6.60)
	Pi Pkδik = Pk Piδki
или после сокращения получим
	δik = δki .	(6.62)

Из соотношения (6.62), отражающего суть теоремы о взаимности перемещений, следует, что побочные единичные перемещения конструкции с различным порядком расположения одинаковых индексов равны между собой.

170